Question

已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e-x（a＜0）的图象过点（0，-2），且在该点的切线方程为4x-y-2=0．（1）若f

已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e-x（a＜0）的图象过点（0，-2），且在该点的切线方程为4x-y-2=0．（1）若f（x）在（2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围．（2）讨论函数f（x）的极值．

Answer 1

（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2，
求导函数可得f′（x）=（-ax²+2ax-bx+b-c）e^-x，
∴f′（0）=（b-c）e⁰=b-c，
∵切线方程为4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2，
∴f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
∵f（x）在（2，+∞）上为单调增函数，
∴（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在（2，+∞）上恒成立
即-ax-2≥0，∴a≤-

2

x

，?

2

x

＞-1，∴a≤-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
令f′（x）=0得x=2，x=-

2

a

，
①当0＞a＞-1时，2＜?

2

a

，f′（x）在（-∞，2）和（-

2

a

，+∞）大于0，在（2，-

2

a

）小于0，
∴f（x）在（-∞，2）和（-

2

a

，+∞）单调递增；在（2，-

2

a

）单调递减．
此时f（x）的极大值f（2）=（4a+2）e^-2，极小值为f（（-

2

a

）=-2e

2

a

；
②a≤-1时，2＞?

2

a

，f′（x）在（-∞，-

2

a

，）和（2，∞）大于0，在（-

2

a

，2）小于0，
∴f（x）在（-∞，-

2

a

，）和（2，+∞）单调递增；在（-

2

a

，2）单调递减．
此时f（x）的极小值f（2）=（4a+2）e^-2，极大值为f（（-

2

a

）=-2e

2

a

．