Question

如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是 ABC 的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G．

如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是 ABC 的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G．（1）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB= 4 3 ，求AG与GM的比．

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Answer 1

（1）ME=MG成立，理由如下： 如图，连接EO，并延长交⊙O于N，连接BC； ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DE， ∴ AD = AE ， ∵点D是 ABC 的中点， ∴ AD = DBC ， ∴ AE = DBC ， ∴ AC = DBE ，即AC=DE，∠N=∠B； ∵ME是⊙O的切线， ∴∠MEG=∠N=∠B， 又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE， ∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG． （2）由相交弦定理得：DF 2 =AF?FB=3× 4 3 =4，即DF=2； 故DE=AC=2DF=4； ∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°， ∴△AFG ∽ △ACB， ∴ AG AB = AF AC ，即 AG 3+ 4 3 = 3 4 ， 解得AG= 13 4 ，GC=AC-AG= 3 4 ； 设ME=MG=x，则MC=x- 3 4 ，MA=x+ 13 4 ， 由切割线定理得：ME 2 =MC?MA，即x 2 =（x- 3 4 ）（x+ 13 4 ）， 解得MG=x= 39 40 ； ∴AG：MG= 13 4 ： 39 40 =10：3，即AG与GM的比为 10 3 ．