Question

设集合A （p，q） ={x∈R|x 2 +px+q=0}，当实数p，q取遍[-1，1]的所有值时，所有集合A （p，q） 的并集为

设集合A （p，q） ={x∈R|x 2 +px+q=0}，当实数p，q取遍[-1，1]的所有值时，所有集合A （p，q） 的并集为______．

Answer 1

∵x 2 +px+q=0， ∴x 1 =（-p+ p 2 -4q 2 ），x 2 =（-p- p 2 -4q 2 ）， 即-p尽可能大 p 2 -4q 也是尽可能大时，x最大， 视p为常数  则q=-1时 p 2 -4q最大值为4+p 2 ， 即（x 1 ） max = -p+ p 2 +4 2 ，① p=-1时（x 1 ） max = 1+ 5 2 ， 即x max =x 1 = 1+ 5 2 ， 同理当x 2 取最小值是集合最小， 即x 2 中-q最小且- p 2 -4q 最小， 即（x 2 ） min =-（p+ p 2 -4q 2 ）中（p+ p 2 -4q）最大 由①得 （p+ p 2 -4q ）最大值为1+ 5 ， 即x min =- 1+ 5 2 ， ∴所有集合A （p，q） 的并集为[- 1+ 5 2 ， 1+ 5 2 ]． 故答案为：[- 1+ 5 2 ， 1+ 5 2 ]．