Question

已知函数 f(x)=lnx- 1 4 x+ 3 4x -1，g(x)= x 2 -2mx+4 （I）求函数f（x）的单调区

已知函数 f(x)=lnx- 1 4 x+ 3 4x -1，g(x)= x 2 -2mx+4 （I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x 1 ∈（0，2），总存在x 2 ∈[1，2]使f（x 1 ）≥g（x 2 ），求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）， f′(x)= 1 x - 1 4 - 3 4 x 2 = - x 2 +4x-3 4 x 2 = -(x-1)(x-3) 4 x 2 ， 由f′（x）＞0得，1＜x＜3， 由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3， ∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）； （Ⅱ） 由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，2）上递增， ∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）= - 1 2 ， 由于“对任意x 1 ∈（0，2），总存在x 2 ∈[1，2]使f（x 1 ）≥g（x 2 ）”等价于“g（x）在区间[1，2]上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值 - 1 2 ” 即g（x） min ≤ - 1 2 ，（*） 又g（x）=x 2 -2mx+4，x∈[1，2]， ∴①当m＜1时，g（x） min =g（1）=5-2m＞0与（*）式矛盾， ②当m∈[1，2]时，g（x） min =4-m 2 ≥0，与（*）式矛盾， ③当m＞2时，g（x） min =g（2）=8-4m≤ - 1 2 ， 解得m ≥ 17 8 ， 综上知，实数m的取值范围是[ 17 8 ，+∞ ）．