Question

数列{a n }，前n项和S n ，满足 a 1 = 1 2 ， S n +2 a n+1 =1(n∈ N * ) （1）

数列{a n }，前n项和S n ，满足 a 1 = 1 2 ， S n +2 a n+1 =1(n∈ N * ) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{nS n }前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵ S n +2 a n+1 =1(n∈ N * ) ∴S n-1 +2a n =1（n≥2） 两式相减可得，S n -S n-1 +2a n+1 -2a n =0 即2a n+1 =a n ∴ a n+1 a n = 1 2 ∵ a 1 = 1 2 ∴数列{a n }是以 1 2 为首项以 1 2 为公比的等比数列 ∴ a n = 1 2 ?( 1 2 ) n-1 = ( 1 2 ) n （2）：∵ S n +2 a n+1 =1(n∈ N * ) ∴ S n +2?( 1 2 ) n+1 =1 ∴ S n =1-( 1 2 ) n ∴nS n =n -n?( 1 2 ) n 令 S n =1? 1 2 +2?( 1 2 ) 2 +…+n?( 1 2 ) n 则 1 2 S n = ( 1 2 ) 2 +2?( 1 2 ) 3 +…+(n-1)?( 1 2 ) n +n?( 1 2 ) n+1 两式相减可得， 1 2 S n = 1 2 +( 1 2 ) 2 +…+( 1 2 ) n -n?( 1 2 ) n+1 = 1 2 (1- 1 2 n ) 1- 1 2 -n?( 1 2 ) n+1 ∴S n = 2- 1 2 n-1 - n 2 n = 2- 2+n 2 n ∴ T n =1-1? 1 2 +2-2?( 1 2 ) 2 +…+n-n?( 1 2 ) n = (1+2+3+…+n)-[1? 1 2 +2?( 1 2 ) 2 +…+n?( 1 2 ) n ] = n(n+1) 2 -2+ 2+n 2 n