Question

（2002?兰州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．求证：（1

（2002?兰州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．求证：（1）AE=CE；（2）CD?CB=4DE2．

Answer 1

证明：（1）连接AD；
∵AB是圆的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠A=90°，
∴AC是圆的切线；
又∵DE是圆的切线，
∴DE=AE，
∴∠ADE=∠EAD，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE，
∴AE=CE．

（2）根据切割线定理得CA²=CD?CB；
∵由（1）得CA=2DE，
∴CD?CB=4DE²．