Question

已知函数f（x）=a?2x?2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定

已知函数f（x）=a?2x?2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）≤f（2a-x）的x的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）在R上单调递增．
证明：∵f（x）=

a?2x?2+a

2x+1

=

a(2x+1)?2

2x+1

＝a?

2

2x+1

，
∴在定义域上任意设两个实数x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝a?

2

2x1+1

?(a?

2

2x2+1

)＝

2

2x2+1

?

2

2x1+1

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1?2x20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）的定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=

2a?2

2

＝a?1=0，解得a=1，经检验符合．
∴f（x）=

2x?1

2x+1

．
①∵f（x）在R上是增函数．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
∴当x=-1时，函数f（x）取得最小值f（-1）=?

1

3

．
当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=

1

3

．
∴?

1

3

≤f（x）≤

1

3

．，即函数f（x）的值域是[?

1

3

，

1

3

]．
②∵a=1，∴不等式f（ax）≤f（2a-x）等价为f（x）≤f（2-x），
∵f（x）在R上是增函数．
∴x＜2-x，解x＜1，
∴x的取值范围是（-∞，1）．