Question

设函数f（x）=x3-32ax2+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上

设函数f（x）=x3-32ax2+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值；（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在区间（-1，2）上既存在最大值又存在最小值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为f′（x）=3x（x-a），所以有：
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（a，+∞），单调递减区间为（0，a）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，a），（0，+∞），单调递减区间为（a，0）；
当a=0时，f′（x）=3x²≥0，所以函数f（x）在区间（-∞，+∞）上递增；（4分）
（Ⅱ）当a≤0时，由（1）易知f（x）在区间[0，2]上单调递增，故最小值为f（0）=0；
当a≥2时，由（1）知f（x）在[0，2]上单调递减，故最小值为f（2）=8-5a
当0＜a＜2时，由（1），f（x）在[0，a]上递减，在[a，2]上递增，
所以此时最小值为f(a)＝?

1

2

a3+a；                     （8分）
（Ⅲ）当a≤-1时，由（1），f（x）在（-1，0]上单调递减，在[0，2）上单调递增，
所以此时只存在最小值f（0）而不存在最大值，不合题意；
当-1＜a＜0时，由（1），f（x）在（-1，a]上单调递增，在[a，0]上单调递减，在[0，2）上单调递增，
此时，若函数f（x）既存在最大值又存在最小值，
则最大值必为f（a），最小值必为f（0），于是应有

f(0)≤f(?1) f(a)≥f(2)

，解得a≤-4，
又-1＜a＜0，此时a不存在；
当a=0时，因为由（1）可知函数f（x）在区间（-1，2）上单调递增，
所以此时既不存在最大值也不存在最小值；
当0＜a＜2时，由（1），f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，a]上单调递减，
在[a，2）上单调递增，若存在最大值与最小值，则应有

f(a)≤f(?1) f(0)≥f(2)

，
解得a≥2，又0＜a＜2，故此时a不存在；
当a≥2时，因为f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，2）上单调递减，
于是只存在最大值不存在最小值，不合题意．
综上不存在实数a使所给函数在给定区间上既存在最大值又存在最小值．（12分）