在数列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．（1）当n=2，3时，分别求an2-an-1an+1
在数列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．（1）当n=2，3时，分别求an2-an-1an+1的值，判断an2-an-...
在数列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．（1）当n=2，3时，分别求an2-an-1an+1的值，判断an2-an-1an+1是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5an+1an+1为完全平方数．
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（1）由已知得a3=70，a4=180．
所以n=2时，an2-an-1an+1=-500；当n=3时，an2-an-1an+1=-500．…（2分）
猜想：an2-an-1an+1=-500（n≥2）． …（3分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，结论成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即ak2-ak-1ak+1=-500，
将ak-1=3ak-ak+1，代入上式，可得ak2-3akak+1+ak+12=-500．
则当n=k+1时，ak+12-ak+1ak+2=ak+12-ak（3ak+1-ak）=ak+12-3akak+1+ak2=-500．
故当n=k+1结论成立，
根据①，②可得，an2-an-1an+1=-500（n≥2）成立．…（5分）
（2）将an-1=3an-an+1代入an2-an-1an+1=-500，得an2-3anan+1+an+12=-500，
则5an-1an+1=（an+an+1）2+500，5an-1an+1+1=（an+an+1）2+501，
设5an-1an+1+1=t2（t∈N*），则t2-（an+an+1）2+501，
即[t-（an+an+1）][t+（an+an+1）]=501，…（7分）
又an+an+1∈N，且501=1×501=3×167，
故
或
所以
所以n=2时，an2-an-1an+1=-500；当n=3时，an2-an-1an+1=-500．…（2分）
猜想：an2-an-1an+1=-500（n≥2）． …（3分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，结论成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即ak2-ak-1ak+1=-500，
将ak-1=3ak-ak+1，代入上式，可得ak2-3akak+1+ak+12=-500．
则当n=k+1时，ak+12-ak+1ak+2=ak+12-ak（3ak+1-ak）=ak+12-3akak+1+ak2=-500．
故当n=k+1结论成立，
根据①，②可得，an2-an-1an+1=-500（n≥2）成立．…（5分）
（2）将an-1=3an-an+1代入an2-an-1an+1=-500，得an2-3anan+1+an+12=-500，
则5an-1an+1=（an+an+1）2+500，5an-1an+1+1=（an+an+1）2+501，
设5an-1an+1+1=t2（t∈N*），则t2-（an+an+1）2+501，
即[t-（an+an+1）][t+（an+an+1）]=501，…（7分）
又an+an+1∈N，且501=1×501=3×167，
故
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