Question

设(3x?x)n的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的有理项的项数

设(3x?x)n的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的有理项的项数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

根据题意，(3x?

x

)n的展开式的通项为T_r+1=C_n^r?（3x）^n-r?（-

x

）^r=（-1）^rC_n^r?3^n-r?xn?

3r

2

；
则第r+1项系数的绝对值为|T_r+1|=C_n^r?3^n-r，
M=C_n⁰?3ⁿ+C_n¹?3^n-1+C_n²?3^n-2+…+C_nⁿ?3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，
其展开式的二项式系数之和为N=2ⁿ，
又由M-N=240，可得4ⁿ-2ⁿ=240，
解可得2ⁿ=16，则n=4；
则(3x?

x

)n的展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC₄^r?3^4-r?x

8?3r

2

；
分析可得，r=0、2、4时，T_r+1为有理项，
则展开式中x的有理项的项数为3；
故选C．