Question

（2014?烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于163π163π

（2014?烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于163π163π．

Answer 1

连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2

3

，OM=OB?cos60°=2，
∴BD=2BM=4

3

，
∴△BDO的面积是

1

2

×BD×OM=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
同理△FDO的面积是4

3

；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2

3

，
∴S_扇形OCD-S_△COD=

60π×42

360

-

1

2

×4×2

3

=

8

3

π-4

3

，
∴阴影部分的面积是：4

3

+4

3

+

8

3

π-4

3

+

8

3

π-4

3

=

16

3

π，
故答案为：

16

3

π．