Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax2-x（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）求使f（x）≤g（x

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax2-x（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围；（3）当a＝18时，是否存在实数m，使得方程3f(x)4x+m+g(x)＝0有三个不等实根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0得x＞

1

e

，f′（x）＜0得0＜x＜

1

e

，
∴f（x）在（0，

1

e

）单调递减，在（

1

e

，+∞）单调递增，
f（x）的极小值点为x=

1

e

．（注：极值点未正确指出扣1分）                   （3分）
（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax²-x（x＞0），∴ax≥lnx+1，
即a≥

lnx+1

x

对任意x＞0恒成立，
令h（x）=

lnx+1

x

，则h′（x）=

?lnx

x2

，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1，∴a≥1，
∴当a≥1时f（x）≤g（x）恒成立．
（3）假设存在实数m，使得方程

3f(x)

4x

+m+g(x)＝0有三个不等实根，
即方程6lnx+8m+x²-8x=0有三个不等实根，
令φ（x）=6lnx+8m+x²-8x，
φ′(x)＝

6

x

+2x?8＝

2(x2?4x+3)

x

＝

2(x?3)(x?1)

x

，
由φ′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3，由φ′（x）＜0得1＜x＜3，
∴φ（x）在（0，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的极大值为φ（1）=-7+8m，φ（x）的极小值为φ（3）=-15+6ln3+8m．（11分）
要使方程6lnx+8m+x²-8x=0有三个不等实根，则函数φ（x）的图象与x轴要有三个交点，
根据φ（x）的图象可知必须满足

?7+8m＞0 ?15+6ln3+8m＜0

，解得

7

8

＜m＜

15

8

?

3

4

ln3，（13分）
∴存在实数m，使得方程

3f(x)

4x

+m+g(x)＝0有三个不等实根，
实数m的取值范围是

7

8

＜m＜

15

8

?

3

4

ln3．（14分）