Question

如图，△ABC是边长为12的等边三角形，P是AB上一动点，由A向B运动（与A、B点不重合），Q是BC延长线上一点

如图，△ABC是边长为12的等边三角形，P是AB上一动点，由A向B运动（与A、B点不重合），Q是BC延长线上一点，与点P同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（Q不与C点重合），过P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC于D．（1）当∠APD=90°时，求AP的长．（2）在点P、Q运动时，线段PD与线段QD相等吗？如果相等，给以证明；如不相等，说明理由．

Answer 1

（1）作PF∥BC交AC于F，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中

∠FPD＝∠CQD PF＝QC ∠PFD＝∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴FD=CD．
∵∠APD=90°，且∠A=60°
∴∠PDA=30°，
∴AD=2AP，
∴AD=2AF．
∵AF+FD=2AF，
∴FD=AF．
∴AF=FD=CD．
∴AF=

1

3

AC．
∵AC=12，
∴AF=4，
∴AP=4．
答：AP=4；
（2）PD=QD
理由：作PF∥BC，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中

∠FPD＝∠CQD PF＝QC ∠PFD＝∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴PD=QD．