Question

已知线性方程组x1+x2-2x3+3x4=02x1+x2-6x3+4x4=-13x1+2x2+px3+7x4=-1x1-x2-6x3-x4=t.，讨论参数p，t取何

已知线性方程组x1+x2-2x3+3x4=02x1+x2-6x3+4x4=-13x1+2x2+px3+7x4=-1x1-x2-6x3-x4=t.，讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．

Answer 1

对增广矩阵作初等变换，有：

.

A

=

1 1 -2 3 ? 0 2 1 -6 4 ? -1 3 2 p 7 ? -1 1 -1 -6 -1 ? t

→

1 1 -2 3 ? 0 0 -1 -2 -2 ? -1 0 -1 p+6 -2 ? -1 0 -2 -4 -4 ? t

→

1 1 -2 3 ? 0   1 2 2 ? 1     p+8 0 ? 0         ? t+2

，
∴
①当t≠-2时，r(A)≠r(

.

A

)，故方程组无解，
②当t=-2时，无论p取何值，恒有r(A)=r(

.

A

)，故方程组有解，
③若p≠-8且t=-2，则r(A)=r(

.

A

)=3，
此时，

.

A

1 0 0 1 ? -1   1 0 2 ? 1     1 0 ? 0         ? 0

，
取x₄为自由变量，容易得通解：
η=（-1，1，0，0）^T+k（-1，-2，0，1）^T，其中k为任意常数，
④若p=-8且t=-2，则：r(A)=r(

.

A

)=2，
此时，

.

A

1 0 - 1 ? -1   1 2 2 ? 1     0 0 ? 0         ? 0

，
取x₃和x₄为自由变量，得通解：
η=(-1，1，0，0)T+k1(4，-2，1，0)T+k2(-1，-2，0，1)T，其中k₁，k₂为任意常数．