Question

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在△ABC中，a,b,c是三个内角A,B,C的对边，关于x的不等式x^2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集，
（1）证明cosC≥1/2
（2）若c=7/2,△ABC的面积S=3(√3)/2,求当角C取最大值时a+b的值

Answer 1

1. 由已知， (4sinC)^2 - 4*6cosC < 0.
则 2(sinC)^2 - 3cosC = 2 - 2(cosC)^2 - 3cosC = -(2cosC-1)(cosC+2) < 0. 因为 |cosC| <= 1, 由不等式的 cosC≥1/2。

2. 由第一问，C的最大值为 60度。 则 ab/2*sinC = S = 3(√3)/2.推出 ab = 6. 设BC边上的高交BC于D. 因为角C=60度，则AD=b*√3/2，CD=b/2, BD=a-b/2. 由勾股定理，AB^2 = AD^2 + BD^2, 得到 49/4 = 3/4*b^2 + (a-b/2)^2， 推出 a^2 - ab + b^2 = (a+b)^2 -3ab = 49/4. 带入ab=6, 得(a+b)^2 = 121/4. 即 a+b = 11/2.

Answer 2

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