Question

函数极限、渐近线

Answer 1

(1)设z=(1/sinx)^tanx,取对数，lnz=tanxlnsinx,0(-∞)型，用罗比达法则：
lnz->lnsinx/(cosx/sinx)->(1/sinx)cosx/[(-sin^2x-cos^2x)/sin^2x]=(cosx/sinx)/(-1/sin^2x)=-sinxcosx->0
z->1
(2)x->∞时，y'不能->0，就不会有水平渐近线。
y'=[3x^2(1-x^2)-x^3(-2x)]/(1-x^2)^2=[3x^2-3x^4+2x^4]/(1-x^2)^2=[3x^2-x^4]/(1-x^2)^2
=x^2(3-x^2)/(1-x^2)^2
y'=0,x=0,x=-√3，x=√3
x->∞，y’->(6x-4x^3)/[2(1-x^2)(-2x)]=(3-2x^2)/[-2(1-x^2)]->(-4x)/[-2(-2x)]=-1
有渐近线，斜率=-1
事实上，x->∞时，分母上的1可以忽略，函数近似y=x^3/(-x^2)=-x,y=-x就是函数的渐近线。另外，x=-1，x=1也是函数的渐近线。

Answer 2