Question

积分题目一道

Answer 1

正如第一个回答的那样，对这个方程两边对x求导数得 令y = f(x) 有
y/(y^2+x) = y'
分解有 (y^2+x) dy - ydx = 0
容易计算存在积分因子 1/y^2. 同乘以积分因子有
(1+x/y^2)dy - 1/y dx = 0
此时容易验证 方程为恰当的微分方程，则可以直接积分了。
或可以直接计算全微分 d(y -x/y) = 0
所以最后得 y - x/y = C
又由于由积分可知 当x = 1是 积分左边为0 有右边有 f(1) - 1 = 0 过f(1) = 1;
带入上式 1 - 1/1 = C 故 C = 0;
即y - x/y = 0 整理为 x = y^2 = f(x)^2

追问

全积分是什么 ？

追答

就是一个多元函数对每个变量求偏导,然后加起来的式子。如 d(f(x,y)) = g dx + h dy 这里g,h分别是f对x,y的偏导数

追问

容易计算存在积分因子 1/y^2. 同乘以积分因子有
(1+x/y^2)dy - 1/y dx = 0
这步以后怎么写？
或者说，
为什么这步之后就变直接计算全微分d(y -x/y) = 0

追答

这一步微分方程那块应该会讲。
其实说起来也不麻烦。对 (1+x/y^2)dy - 1/y dx = 0 你任取一个式子如(1+x/y^2)dy或者- 1/y dx ，然后积分dy就对y积分，dx对积分。如对y积分(1+x/y^2)dy 积分后的结果为 y-x/y。
然后设最终结果为 y-x/y+g(x)，且对x求导让它等于另一个式子 - 1/y。最后计算出g(x)即可。如本题，对x求导后 为 -1/y+g'(x) = - 1/y 得g(x) = C

Answer 2

无法求解，原题呢

追问

为什么无法求解？

追答

条件严重不足

Answer 3

两边对x求导

Answer 4

不适合高质量，请收回！