Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C. （1）求证：直线AE是⊙O的切线；

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C. （1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB， ，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

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Answer 1

（1）见解析（2）15， ,

试题分析： （1）证明：连结BD. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°. ∴∠1+∠D=90°.　 ∵∠C=∠D，∠C=∠BAE， ∴∠D=∠BAE.　　 ∴∠1+∠BAE=90°. 即∠DAE=90°. ∵AD是⊙O的直径， ∴直线AE是⊙O的切线.　 （2）解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°. ∵EB="AB," ∴∠E=∠BAE, ∵∠BFE=90°, ∴ ∴AB="15." 由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, ∴∠D=∠E. ∵∠ABD=90°, ∴ 设BD=4k，则AD＝5k. 在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝ ="3k=15," ∴k=5. ∴ ∴⊙O的半径为 . 点评：此类试题属于难度较大的试题也是圆的基本知识的常考题，考生在解答此类试题时一定要注意分析