Question

已知函数f（x）= mx+n 1+ x 2 是定义在[- 1 2 ， 1 2 ]上是奇函数

已知函数f（x）= mx+n 1+ x 2 是定义在[- 1 2 ， 1 2 ]上是奇函数，且f（- 1 4 ）= 8 17 （1）确定函数f（x）解析式（2）用定义证明函数f（x）在[ 1 2 ， 1 2 ]上是减函数（3）若实数t满足f（ t 3 ）+f（t+1）＜0，求t的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）= mx+n 1+ x 2 为奇函数， ∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x） 即 -mx+n 1+ x 2 =- mx+n 1+ x 2 ，可得-mx+n=-mx-n，得n=0 ∴f（x）= mx 1+ x 2 ∵f（- 1 4 ）= 8 17 ，∴ - 1 4 m 1+ 1 16 = 8 17 ，解之得m=-1 因此，函数f（x）解析式为f（x）= -x 1+ x 2 （2）由（1）知，f（x）= -x 1+ x 2 ， 设x 1 、x 2 ∈[- 1 2 ， 1 2 ]，且x 1 ＜x 2 ，可得 f（x 1 ）-f（x 2 ）= - x 1 1+ x 1 2 - - x 2 1+ x 2 2 = (x 1 - x 2 )( x 1 x 2 -1) (1+ x 1 2 )(1+ x 2 2 ) ∵x 1 -x 2 ＜0，x 1 x 2 -1＜0，（1+ x 1 2 ）（1+ x 2 2 ）＞0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，得f（x 1 ）＞f（x 2 ） 由此可得函数f（x）在[ 1 2 ， 1 2 ]上是减函数； （3）∵f（x）在[ 1 2 ， 1 2 ]上是奇函数且是减函数 ∴实数t满足f（ t 3 ）+f（t+1）＜0，即f（ t 3 ）＜-f（t+1）=f（-t-1） 可得- 1 2 ＜-t-1＜ t 3 ＜ 1 2 ，解之得- 3 4 ＜t ＜- 1 2 即得实数t的范围为（- 4 3 ，- 1 2 ）．