Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx 2 成立，求实数k的最小值；

Answer 1

（1）a="1" （2）

试题分析：（1）首先确定函数的定义域，然后求导，利用导数，确定函数的单调区间和极小值，此处，极小值就是最小值，由于最小值为0，可建立关于a的方程，解之即可.（2）通过x=1验证k≤0不满足条件，所以k>0，构造函数g(x)＝f(x)－kx 2 ，则g′(x)＝ －2kx＝ .分类讨论：k≥ 时，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥ 符合题意; 0＜k＜ 时，g(x)在 内单调递增，x 0 ∈ 时，g(x 0 )＞g(0)＝0，故0＜k＜ 不合题意．所以k的最小值为 . 试题解析：.解：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)． f′(x)＝1－ ＝ .2分 由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－a,1－a) 1－a (1－a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ? 极小值 ? 因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值， 故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.  5分 (2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0， 故k≤0不合题意．                    6分 当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx 2 ， 即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx 2 . g′(x)＝ －2kx＝ . 令g′(x)＝0，得x 1 ＝0，x 2 ＝ ＞－1.  8分 ①当k≥ 时， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx 2 在[0，＋∞)上恒成立，故k≥ 符合题意． 10分 ②当0＜k＜ 时， ＞0, 对于x∈ ，g′(x)＞0，故g(x)在 内单调递增，因此当取x 0 ∈ 时，g(x 0 )＞g(0)＝0，即f(x 0 )≤kx 0 2 不成立，故0＜k＜ 不合题意． 综上，k的最小值为 .    12分