Question

已知二次函数y=a（x+1）2+m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，顶点为M，直线MC的

已知二次函数y=a（x+1）2+m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，顶点为M，直线MC的解析式为y=kx-3，且直线MC与x轴交于点N，sin∠BCO=1010．（1）求直线MC及二次函数的解析式；（2）在二次函数的图象上是否存在点P（异于点C），使以点P、N、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由直线MC的解析式y=kx-3，得C（0，-3）．
设OB=t，
∵sin∠BCO=

OB

BC

=

10

10

=

1

10

，
∴BC=

10

t，则OC=3t．
∵OC=3，∴3t=3，
∴t=1．∴OB=1．
∵点B（1，0），C（0，-3）都在二次函数的图象上，
∴

4a+m＝0 a+m＝?3

，解得a=1，m=-4，
∴二次函数的解析式为：y=x²+2x-3．
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3即k=1．
∴直线MC的解析式为：y=x-3；

（2）存在这样的点P．
①由于∠CNO=45°，则N（3，0），在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P（如图）．
∴PNC=90°．
直线ND的解析式为：y=-x+3．
解方程组

y＝?x+3 y＝x2+2x?3

，