Question

设函数f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）

设函数f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x-2|≥1，∴x-2≥1，或 x-2≤-1．
解得x≤1，或 x≥3，故不等式的解集为 {x|x≤1，或 x≥3}．
（Ⅱ）∵f（x）=

3x?a，  x≥a x+a， x＜a

，a＞0，故函数f（x）在它的定义域（-2，+∞）上是增函数．
再由f（x）＞0在它的定义域（-2，+∞）上恒成立，可得f（-2）=a-2≥0，解得 a≥2．
故a的范围是[2，+∞）．