Question

已知函数f(x)＝2cos2x+23sinxcosx?1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π2

已知函数f(x)＝2cos2x+23sinxcosx?1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值和最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵cos²x=

1

2

（1+cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x，
∴f(x)＝2cos2x+2

3

sinxcosx?1
=（1+cos2x）+

3

sin2x-1=cos2x+

3

sin2x…（4分）
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)=2sin(2x+

π

6

)…（6分）
因此，函数f（x）的最小正周期为T＝

2π

2

＝π．…（7分）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

…（9分）
∴?

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，可得-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
当2x+

π

6

＝

π

2

时，即x=

π

6

时，sin(2x+

π

6

)＝1，此时函数f（x）的最大值为2．…（11分）
当