Question

（2013?太原一模）如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）．在柱形区域内加一方向垂直于纸面

（2013?太原一模）如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）．在柱形区域内加一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以某一初速度v0（未知）从a点沿直径aOb方向射入柱形区域（磁场），从圆上的C点离开该区域，已知Oc与Ob成60°角，回答下列问题：（1）求粒子初速度V0的大小；（2）若将该粒子的初速度减为13v0，仍从a点沿原来的方向射入磁场，则粒子从圆上的d点离开该区域，求cd间的距离；（3）若将磁场换为平行于纸面且垂直ab的匀强电场，让该粒子以V0仍从a点沿ab方向射入匀强电场，粒子也从c点离开该区域，求电场强度的大小．

Answer 1

（1）粒子运动轨迹如图：
粒子以某一初速度v₀（未知）从a点沿直径aOb方向射入柱形区域（磁场），从圆上的C点离开该区域，设半径为r₁，则：
Bqv0＝m

v02

r1

①
因为∠bOc=60°，故∠aO′O=30°，
tan30°＝

R

r1

，
解得：
r1＝

3

R．
带入①解得：
v0＝

3 BqR

m

．
（2）若将该粒子的初速度减为

1

3

v0，仍从a点沿原来的方向射入磁场，则粒子从圆上的d点离开该区域，所做圆周运动的半径为r，则：
r＝

1

3

r1=

3

3

R，
tan∠aOO″＝

r

R

，
∠aOd=60°，
解得：
L_cd=R．
（3）设电场强度为E，粒子在电场中做类平抛运动，其加速度大小为a，则：
qE=ma，
粒子沿ab通过的距离为x，沿电场方向通过的距离为y，则：
x=R+Rcos60°，
y=Rsin60°，
由运动学公式：
x=v₀t，
y＝

1

2

at2，
解得：
E＝

4 3 qRB2

3m

．
答：（1）求粒子初速度v₀的大小为v0＝

3 BqR

m

；
（2）若将该粒子的初速度减为

1

3

v0，仍从a点沿原来的方向射入磁场，则粒子从圆上的d点离开该区域，cd间的距离为R；
（3）若将磁场换为平行于纸面且垂直ab的匀强电场，让该粒子以V₀仍从a点沿ab方向射入匀强电场，粒子也从c点离开该区域，电场强度的大小为E＝

4 3 qRB2

3m

．