Question

为何函数在某一点的左右导数存在并且相等，那么函数在改点就可导呢？比如这个图

Answer 1

“如果函数在某一点的左右导数存在并且相等，那么函数在该点可导”的前提是函数首先要在该点连续。
因为连续是可导的必要条件，你这个例子在x=0点不满足连续，所以不可导。这时再讨论左右导数没有意义。

Answer 2

如果你这个图上函数值在下面也就是f(0)=0的话,那么x=0处的右导数是存在的没问题，但是左导数并不存在，实际上，x–>0–时，f(x)–f(0)/x=f(x)/x的极限不存在，因为分母是无穷小，分子的极限不是0而是上面那个点(空圈)的纵坐标，所以分式的极限也就是左导数不存在。

Answer 3

你这个图谁说可导的？ 连最基本的连续这个条件都没有满足 怎么可能有导数呢

连续不一定可导 而可导一定是连续 所以如果一个函数都不连续 剩下的直接不用考虑了 什么导数微分积分全没有

Answer 4

导数的定义并没有提及连续函数，反对其它几个答案。重点是“y=f(x)在x_0的邻域内有定义“这个前提。这个前提规定了在x_0处函数必有值。而题主这样的画法，不管x_0处的值是多少，都不能使f(x)在x_0处的左导又导都存在。所以要想让左导又导同时存在，就需要函数在x_0点处是连续的。但是仅仅为连续也并不能证明导数存在，还需要左右导数相等。因此如果函数在x_0导数存在，必须有连续，同时左右导数相等这两个条件成立。