Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD＋BC=4 cm，求： （1）对角线A

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD＋BC=4 cm，求： （1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积．

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Answer 1

（1）4cm　（2）8cm2

分析：（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，利用梯形的性质平移对角线AC，由题意可知，两条对角线与上、下底的和构成等腰直角三角形，已知斜边BE="AD+BC=4" ，可求直角边DE的长，即AC长； （2）当四边形对角线互相垂直时，四边形的面积等于两条对角线积的一半，由此进行计算． 解：过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点． （1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE， ∴四边形ACED为平行四边形，AC=DE，AD=CE， ∵AB=CD， ∴梯形ABCD为等腰梯形， ∴AC=BD， ∴BD=DE， 又AC⊥BD， ∴∠BOC=90° ∵AC∥DE ∠BDE=90°， ∵BE=BC+CE=BC+AD=4 ， 根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2， 即2BD2=（4 ） ， 解得BD=4， 即AC=4cm； （2）∵AC⊥BD，AC=BD=4， ∴S  = ×AC×BD=8cm ． 点评：本题考查了梯形常用作辅助线的方法：平移一条对角线，使梯形的两条对角线，上、下底的和围成三角形，再根据梯形其它条件解题．