Question

已知点P（2，0）及圆C：x 2 +y 2 -6x+4y+4=0。（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（2

已知点P（2，0）及圆C：x 2 +y 2 -6x+4y+4=0。（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（2）设过点P的直线l 1 与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（3）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数 a ，使得过点P（2，0）的直线l 2 垂直平分弦AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线 的斜率为k（k存在）， 则方程为 ，即 ， 又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3， 由 ，解得 ， 所以直线的方程为 ，即 ， 当 的斜率不存在时， 的方程为x=2，经验证x=2也满足条件。 （2）由于 ，而弦心距 ， 所以 ，所以P恰为MN的中点， 故以MN为直径的圆Q的方程为 。 （3）把直线 ，代入圆C的方程，消去y， 整理得 ， 由于直线 交圆C于A，B两点， 故 ， 即 ，解得： ， 则实数 a 的取值范围是 。 设符合条件的实数 a 存在，由于 垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在 上， 所以 的斜率 ， 而 ，所以 ， 由于 ， 故不存在实数 a ，使得过点P（2，0）的直线 垂直平分弦AB。