Question

如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3

如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

Answer 1

（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°．
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．
如图所示：连接FC，DF，
∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）
②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．（答案不惟一，若学生画图说明也可．）

（3）第一种情况：
∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC．
∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点
∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，
∵△ADE是直角三角形
∴△DEC也是直角三角形．
第一种情况：∠DEC=90°时
①∠CDE=∠DEA
∴DC∥AE．
这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立
②∠CDE=∠EDA
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°
∴∠AED=∠ECD
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴∠AED=∠BCE=∠ECD
∴DE平分∠ADC 同理可得 CE平分∠DCB
过E作EF⊥DC
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB
∴AE=FE，BE=FE
∴AE=BE
第二种情况：
如图3，∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
说明AE=

1

2

DE，BE=

1

2

CE，DE=

1

2

CE，
（或说明BE=DE，AE=

1

2

DE）
所以AE=

1

2

BE．综上，AE=BE或AE=

1

2

BE．