Question

已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠

已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=433（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）分别作直线PA、PB交椭圆C于A、B两点，设PA、PB的斜率分别是k1，k2，且k1+k2=4，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）解：设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则
∵∠F₁MF₂=60°，且S△F1MF2=

4 3

3

，
∴16=m²+n²-mn，

1

2

mn?

3

2

=

4 3

3

，
∴m+n=4

2

，
∴2a=4

2

，
∴a=2

2

，
∵c=2，
∴b=

a2?c2

=4，
∴椭圆C的方程为