Question

求级数∞n＝1(?1)n?1n(2n?1)3n的和

求级数∞n＝1(?1)n?1n(2n?1)3n的和．

Answer 1

结果为：

解题过程如下：

扩展资料

求收敛级数的方法：

函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。

若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。

函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。

Answer 2

级数∞n＝1(?1)n?1n(2n?1)3n的和级数∞n＝1/xln(3?x)，x∈[-3，3]．

解S(1    3    )＝3    9    π?2ln2+ln3．：

引入幂级数∞    n＝1    (?1)n?1    n(2n?1)    x2n   （.   x    .  ≤1）

故令S（x）=∞    n＝1    (?1)n?1    n(2n?1)    x2n，

则S（1    3    ）=∞    

n＝1    

(?1)n?1    

n(2n?1)3n    

S″（x）=22

∞n＝1 (?1)n?1x2n?1＝2

∞n＝1    

(?x2)n?1＝2    1+x2  （.   x    .＜1）

结合 S（0）=0，S″（0）=0，所以S′（x）=2arctanx，再积分有
S（x）=2

∫ x0 arctantdt=2[arctanx-∫    x0   t    1+t2    dt]

=2xarctanx-ln（1+t2）|  x0

=2xarctanx-ln（1+x2）（x2＜1）．
故级数∞n＝1/xln(3?x)，x∈[-3，3]．

扩展资料：

幂级数的运算方法：

参考资料来源：百度百科-幂级数

Answer 3

引入幂级数

∞

n＝1

(?1)n?1

n(2n?1)

x2n   （

.

x

.

≤1）
故令S（x）=

∞

n＝1

(?1)n?1

n(2n?1)

x2n，则S（

1

3

）=

∞

n＝1

(?1)n?1

n(2n?1)3n

S^″（x）=22

∞

n＝1

(?1)n?1x2n?1＝2

∞

n＝1

(?x2)n?1＝

2

1+x2

    （

.

x

.

＜1）
结合 S（0）=0，S^″（0）=0，所以S′（x）=2arctanx，再积分有
S（x）=2

∫

x 0

arctantdt=2[arctanx-

∫

x 0

t

1+t2

dt]
=2xarctanx-ln（1+t²）

|

x 0

=2xarctanx-ln（1+x²）（x²＜1）．
故S(

1

3

)＝

3

9

π?2ln2+ln3．