Question

如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．（1）如图1，当α=60°时，∠B

如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．（1）如图1，当α=60°时，∠BCE=______．（2）如图2，当α=90°时，①试判断∠BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明②若AE与BC边交于F，试比较DF与（BD+CF）的大小，并写出证明过程．

Answer 1

（1）如图1，

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°，
∴△ABC和△DAE是等边三角形，∠BAD=∠CAE．
∴AD=AE，∠BCA=60°，∠ABD=60°．
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

．
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠ABD=∠ACE．
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=120°．
故答案为：120°．

（2）①∠BCE的度数不变，等于45°．
证明：设AE与BC的交点为F，如图2．

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠B=∠ACB=∠DAE=∠DEA=45°．
∵∠AFC=∠DFE，∠ACF=∠DEF，
∴△AFC∽△DFE．
∴

FA

FD

=

FC

FE

．
∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△CFE．
∴∠DAF=∠ECF．
∴∠ECF=45°，即∠BCE=45°．
②DF＜BD+CF．
证明：将线段AD绕着点A逆时针旋转90°到AG的位置，连接CG，FG，如图3．

则有AG=AD，∠DAG=90°．
∵∠BAC=∠DAG=90°，
∴∠BAD=∠CAG．
在△BAD和△CAG中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAG AD＝AG

．
∴△BAD≌△CAG（SAS）．
∴BD=CG，∠ABD=∠ACG．
∴∠FCG=∠FCA+∠ACG=∠FCA+∠ABD=90°．
∵∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAG=∠DAG-∠DAF=45°=∠DAF．
在△DAF和△GAF中，

AD＝AG ∠DAF＝∠FAG AF＝AF

．
∴△DAF≌△GAF（SAS）．
∴DF=GF．
在Rt△FCG中，
根据三角形的三边关系得：FG＜CG+CF．
∵FG=DF，CG=BD，
∴DF＜BD+CF．