Question

（2014?资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交A

（2014?资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=22，求AE的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；

（2）解：∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2

2

，
∴OC=

OA2+AC2

=3，
∴CD=OC-OD=3-1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CE

=

CA

CD

，即

2

CE

=

2 2

2

，
∴CE=

2

．
∴AE=AC-CE=2

2

-

2

=

2

．