Question

高中数学书上一解析几何证明题~~用纯几何怎么破？

等边三角形△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且BD=1/3BC,CE=1/3CA,AD,BE相交于点P,求证：AP⊥垂直于CP.
引自高中数学必修2P132练习的T4。
thank you!

Answer 1

首先，根据三角形BAD与三角形CBE全等，易得 ∠APE=60°
注意到∠APE=∠ACB=60°
所以PECD四点共圆。
根据圆的特性（等边对等角）
易得∠DPC=∠DEC
接下来证明∠DEC是90°即可
注意到CD=2CE，∠ECD=60°，解这个三角形
易得∠DEC=90°

设DC中点为Q,连接EQ、DE,
明显：ΔCEQ为正三角形,所以,∠QEC=60度
而ΔEDQ为等腰三角形,所以：∠EDQ=∠QED=∠EQC/2=30度,
所以,∠DEC=90度；
又由于ΔBEA≌ΔADC,所以 ∠AEB=∠ADC
可知：ΔAPE∽ΔACD
∠AFE=∠ACD
所以,四边形FECD四点共圆,
所以,∠DPC=∠DEC=90度 (同弧所对圆周角相等)
即：AF垂直CF