Question

初三数学：如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,过点A作AE⊥CD于点E,交对角线BD于点F,过点F作FG⊥AD于点G.

（1）求证：BF=4EF;
（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积。

Answer 1

1、∵ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠B=60°，AB=AB=DC=BD
∠BAD=120°
BD平分∠ADC，那么∠ADB=∠CDB=30°
连接AC，交BD于O，那么AC⊥BD，
∴RT△AOD中：∠ADO=30°，OD=√3/2AD（勾股定理）
∴BD=2OD=√3AD
∵AE⊥CD，FG⊥AD，BD是角平分线，那么EF=FG
易得DE=DG
RT△ADE中：∠ADE=∠ADC=60°，那么∠DAE=30°
∴DE=DG=1/2AD
∵RT△DGF中：∠GDF=∠ADB=30°
∴FG=1/2DF，DG=√3/2DF
DF=2√3/3DG=2√3/3×1/2AD=√3/3AD
EF=1/2DF=√3/6AD
∴BF=BD-DF=√3AD-√3/3AD=2√3/3AD
∴EF/BF=(√3/6AD)/(2√3/3AD)=1/4
BF=4EF
2、BD=√3AD=2√3
AC=AB=2
∴S△ABD=1/2S菱形=1/2×1/2AC×BD=√3
∵FG=EF=1/2DF=√3/6AD=√3/3
DG=1/2AD=1
∴S△DFG=1/2DG×FG=1/2×√3/3=√3/6
∴S四边形ABFG=√3-√3/6=5√3/6