Question

高中数学题（需解答过程）

已知园内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD的面积为

Answer 1

画一个简易的图，因为是圆内接，所以对角互补，设2，4夹角为A ，所以6，4夹角为180-A=B。设外接圆的直径设为R，由余弦定理得到：
cosA=(2²+4²-R²)/(2*2*4)
cosB=-cosA=(6²+4²-r²)/(2*4*6)
解方程得到R²=28 cosA= -1/2 sinA=sinB=根号3/2
三角形面积 两边及其夹角正弦乘积的一半 所以 面积为8*根号3

Answer 2

8√3。

Answer 3

解：圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].
（a,b,c,d为四边形的四边长,其中P=(a+b+c+d)/2 )
带入:s=8√3

Answer 4

圆内接四边形面积有类似的海伦公式。
答案S=8√3.

圆内接四边形ABCD，记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，p=(a+b+c+d)/2，S为圆内接四边形面积， S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].

【证明 当圆内接四边形ABCD为矩形时，等式显然成立。
当圆内接四边形ABCD不是矩形时，总有一组对边延长后交于一点，不妨设CB与DA延长后交于E，设CE=x,DE=y，则由海仑公式得:
S(ECD)=√[(x+y+c)*(x+y-c)*(x-y+c)*-x+y+c)]/4.
因为 ΔDAB∽ΔECD，所以 S(EAB)/S(ECD)=a^2/c^2,即
[S(ECD)-S(EAB)]/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2，
S/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2.
因为 x/c=(y-d)/a; y/c=(x-b)/c.
由此可得:
x+y=c(b+d)/(c-a),
x-y=c(b-d)/(c+a).
故有
x+y+c=c(b+c+d-a)/(c-a),
x+y-c=c(b+d+a-c)/(c-a),
x-y+c=c(a+b+c-d)/(c+a),
-x+y+c=c(c+d+a-b)/(c+a).
因而得:S(ECD)=[c^2/(c^2-a^2)]*√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]].
故得:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]. 】