Question

证明 B 空间的闭子空间是B空间。

Answer 1

不妨设X为一个B空间，X有一个闭子空间为Y。
则Y中的Cauchy列一定也是X中的Cauchy列，
由于X完备，所以Y中的Cauchy列{yn}在X中收敛，不妨设收敛到y，
那么由于Y为闭集，所以Y中的Cauchy列{yn}在Y中有收敛的子列{ynk}，
由于{yn}在X中收敛到y，
所以其子列在Y中也一定收敛到y（极限存在且唯一），即y在Y中。
即Y中Cauchy列收敛。
因此Y也完备。
ps：当然Y本身作为子空间是继承了X的范数的。

Answer 2

证明该子空间是完备空间即可！