Question

如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N

如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN ∥ 平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．

Answer 1

证明：（1）取DE的中点P，连接PA，PN， 因为点N为线段CE的中点， 所以PN ∥ DC，且PN= 1 2 DC， 又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点， 所以AM ∥ DC，且AM= 1 2 DC， 所以PN ∥ AM，且PN=AM， 故四边形AMNP是平行四边形， 所以MN ∥ AP． 而AP?平面DAE，MN?平面DAE， 所以MN ∥ 平面DAE． （2）因为BC⊥平面ABE，AE?平面ABE， 所以AE⊥BC， 又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE， 所以AE⊥BF， 又BF∩BC=B， 所以AE⊥平面BCE． 又BE?平面BCE， 所以AE⊥BE．