Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点．（1）如果BD ∥ CF，求证：AE=5DE；（2

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点．（1）如果BD ∥ CF，求证：AE=5DE；（2）在（1）的条件下，若BC= 2 5 ，求线段CD的长度．

Answer 1

（1）∵AD是⊙O直径， ∴∠ABD=∠ACD=90°． 又AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴BD=CD． 由垂径定理可得：BE=CE，且BC⊥AD． ∵BD ∥ CF， ∴△BDE≌△CFE， ∴CF=BD=CD． 又BC⊥AD， ∴E是DF中点， 又F是OE中点， ∴OF=FE=ED= 1 3 OA ，即AE=5DE． （2）∵BC= 2 5 ，由（1）知BE=CE= 5 ， 由△CDE ∽ △ACE，可得CE 2 =DE×AE， ∴DE=1，AE=5 由△CDE ∽ △ACD，可得 CD 2 =DE×AD，即CD 2 =6， ∴ CD= 6 ．