Question

有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．（1）求

有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．（1）求圆锥的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

（1）∵圆锥侧面展开图的半径为5，
∴圆锥的母线长为5．
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=

216×π×5

180

，解得r=3，
∴圆锥的高为4．
∴圆锥的体积V=

1

3

π×32×4=12π；
（2）设圆柱的底面半径为R，则

3?R

3

=

x

4

，∴R=3-

3

4

x，
∴圆柱的侧面积为2π（3-

3

4

x）x=

3

2

π（4-x）x≤

3

2

π×(

4?x+x

2

)2=6π，
当且仅当4-x=x，即x=2时，圆柱的侧面积最大．