如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在直线AD上截取AF=2FD，连接EF，EF交AC于G．求AG：AC
如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在直线AD上截取AF=2FD，连接EF，EF交AC于G．求AG：AC．...
如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在直线AD上截取AF=2FD，连接EF，EF交AC于G．求AG：AC．
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解：有两种情况：第一种情况：F在线段AD上，如图1，
过点F作FH∥DC，交AC于点H，
∵AF=2FD，
∴在△ADC中，
| AF |
| FD |
| AH |
| HC |
| AF |
| AD |
| FH |
| DC |
| 2 |
| 3 |
∴AH=2HC…①，FH＝
| 2 |
| 3 |
∵AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵平行四边形ABCD，AB∥CD且AB=CD，
∴FH∥AB，
∴
| AG |
| GH |
| AE |
| FH |
②③代入④得
| AG |
| GH |
| 3 |
| 4 |
∴GH＝
| 4 |
| 3 |
∴AH=AG+GH=
| 7 |
| 3 |
∴AG＝
| 6 |
| 7 |
∵AC=AH+HC=3HC，
∴AG：AC=
| 2 |
| 7 |
第二种情况：F在AD的延长线上，如图（2），
过点F作FH∥DC，交AC的延长线于点H，
∵AF=2FD
∴在△AFH中，
| AD |
| DF |
| AC |
| CH |
| 1 |
| 1 |
| AD |
| AF |
| CD |
| FH |
| 1 |
| 2 |
∴AC=CH，FH=2CD，
∵AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵FH∥AB，
∴
| AG |
| GH |
| AE |
| FH |
| ||
| 2CD |
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