Question

如图所示，左端封闭，右端开口的均匀U型管中用水银封有一段长150mm的空气柱。左臂总长为250mm，右臂足够

如图所示，左端封闭，右端开口的均匀U型管中用水银封有一段长150mm的空气柱。左臂总长为250mm，右臂足够长。如果将管的开口变为竖直向下，求空气柱的长度。（设大气压为750mmHg）

Answer 1

283.3（cm）

【错解分析】错解：此题是属于气体在等温情况下压强和体积的变化的题，可以利用玻意耳定律求解。 初态：p 1 =（750+100）=850（mmHg） V 1 =150S（cm 3 ） 设倒转后左臂空气柱长度增加x，如图所示， 则末态：p 2 =（750-100-2x）=（650-2x）（mmHg） V 2 =（150+x）S（cm 3 ） 由玻意耳定律有：p 1 V 1 =p 2 V 2 即：850×150S=（650-2x）（150+x）S 整理得：2x 2 -350x+30000=0 由数学知识可知，当△=b 2 -4ac=350 2 -4×2×3000＜0，方程无解。所以，这道题是一道没有解的题。 在解题时，之所以出现这样的情况，是因为解题者的思维是势导致的错误，上述解法是从空气柱仍在左臂的假设出发的，难道空气就不能进到右臂？显然，认为空气柱仍在左臂的假设是需要重新考虑的。 【正解】在左臂原有空气柱长150mm的情况下，两管之间的水银柱的高度差与U型管倒转后空气柱是否进入右管有关，高度差越大，水银越重，倒转后，空气柱越有可能进入右管。那么，两臂水银面高度差为多大，才能让空气柱仍留在左臂呢？ 设初始左、右两臂水银面高度差为h，倒转后空气柱仍在左臂（如图）则：由玻意耳定律有： （750+h）×150S=（750-h-2x）（150+x）S 整理得：2x 2 +（h-450）x+300h=0 当△=b 2 -4ac≥0时，方程有实数解，即（h-450） 2 -4×2×300h≥0 解得：h≤62.5mm 也就是说，只有当两臂水银面高度差小于或等于62.5mm时，倒转后空气柱才可能仍留在左臂。而本文给出开始时水银面高度差为100mm＞62.5mm，因此，U型管倒转后空气柱会进入右臂。 设右臂足够长，倒转后，水银柱已全部进入右臂如图所示，末状态变为：V 2 =（250+y）S   p 2 =（750-30）=450（mmHg） 根据玻意耳定律： 850×150S=450×（250+y）S 解得：y=33.3mm 则空气柱的长度为：l=（250+33.3）=283.3（cm）。 【点评】对于一道物理习题，应该从每个数值的物理意义去分析问题，而不能只单纯从数学运算的角度去制定。