Question

设三阶矩阵A满足Aαi=iαi（i=1，2，3），其中列向量α1=（1，2，2）T，α2=（2，-2，1）T，α3=（-2，-1

设三阶矩阵A满足Aαi=iαi（i=1，2，3），其中列向量α1=（1，2，2）T，α2=（2，-2，1）T，α3=（-2，-1，2）T．试求矩阵A．

Answer 1

因为：A满足Aα_i=iα_i（i=1，2，3），
所以：A（α₁，α₂，α₃）=（α₁，2α₂，3α₃），
记：P=（α₁，α₂，α₃），B=（α₁，2α₂，3α₃），
则上式可以写为：AP=B，
由于：|P|=

.

1 2 ?2 2 ?2 ?1 2 1 2

.

＝?27≠0
故：P可逆，从而：A=BP^-1，
P的伴随矩阵P*＝

?3 ?6 6 ?6 6 3 ?6 ?3 ?6

，
∴P?1＝

1

|p|

p*＝

1

9

1 2 2 2 ?2 1 ?2 ?1 2

，
从而：
A＝BP?1＝

1

9

1 4 ?6 2 ?4 ?3 2 2 6

1 2 2 2 ?2 1 ?2 ?1 2

=

7 3 0 ? 2 3 0 5 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 3 2

．