Question

已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C

已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又|OA|=2|OB|，OA?OC=2过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）证明：B、P、N三点共线．

Answer 1

（Ⅰ）A（a，0），B (

a2

c

，0)
由|

OA

|=2|

OB

|? 

a2

c

=

a

2

(1)
由

x= a2 c y= b a x

?C(

a2

c

，

ab

c

)，
∴

OA

?

OC

=2?

a2

c

=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

?(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2= -24t 3t2-1 y1y2= 36 3t2-1

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

36

3t2-1

+3

-24

3t2-1

=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．