Question

若函数fx=x^3/3-ax^2/2+x+1在区间（1/2,3）上有极值点则实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=x^3/3-ax^2/2+x+1
f'(x)=x^2-ax+1
△=a^2-4>=0 a^2>=4 a>=2 或 a<=-2
1/2<a/2+√(a^2-4)/2<3 或 1/2<a/2-√(a^2-4)/2<3
解1<a+√(a^2-4)<6
1-a<√(a^2-4) 且 √(a^2-4)<6-a
解1+a^2-2a<a^2-4 得：2a>5 a>5/2
解√(a^2-4)<6-a 得：a^2-4<a^2-12a+36 12a<40 a<20/6
∴5/2<a<20/6
解1/2<a/2-√(a^2-4)/2<3
即 1/2<a/2-√(a^2-4)/2 且 a/2-√(a^2-4)/2<3
解前面不等式：
a^2-4<a^2-2a+1
2a<5 a<5/2
解后面不等式：
a^2-4>a^2-12a+36
12a>40 a>20/6
两个不等式的交集为空集
考虑到5/2>2, 所以实数a的取值范围是：（5/2, 20/6)