Question

关于同阶无穷小量的问题

题目是函数：x^2/（1+x）与x^a为同阶无穷小量。求a。答案是2，怎么算的

Answer 1

若看不清楚，可点击放大。

追问

第二个等号的右侧为什么要求导。。。我们好像还没学到这里

追答

当x趋于0时，分式为0/0型，故要用洛必达法则求极限，
使分式变成可以求取a值的形式，不然无法判断a的大小。
没学过，没关系，先用后学也是可以的。
实在要绕过洛必达法则，也可令a=2，约去x^2得1/(x+1)趋于1.
若取a=1，则有x/(1+x)趋于0，二者就不是同阶了。

追问

两个函数的比值一定要是定值吗

追答

Answer 2

根据同阶无穷小的定义可知
lim [x^2/(1+x)] / x^a = C(C≠0) C为常数
则可知 lim x^(2-a)/(x+1) 上下的x次数应该为同阶 即 2-a = 1
推得 a=1

追问

还有一题(答了分就给你了)：5次根号下的(3*x^2-4*x^3)与x^a次方为同阶无穷小量 求a
楼下的给出了不同的解法 你怎么看

追答

如果x→∞，则a=1
如果x→0，则a=2

你这道追问的题应该是 趋近于0吧？
limx→0原式=limx→0五次根号下(3x^(2-5a) - 4x^(3-5a)) =C
保证趋近于0时极限为常数 那么高次项为常数即可 即2-5a=0
则a=2/5