Question

把1/(1+z^2)展开成的幂级数,并指出它们的收敛半径

Answer 1

因为1/[(1+z²)²]=(-1/2z)[1/(1+z²)]'

1/(1+z²)=1+(-z²)+(-z²)²+(-z²)³+……+(-z²)^n…… 当z²<1时收敛，即-1<z<1

∴[1/(1+z²)]'=-2z+4z³-6z^5+……+[(-1)^n]*2n*z^(2n-1) n=1,2,3……

∴(-1/2z)[1/(1+z²)]'=1-2z²+3z^4+……+[(-1)^(n+1)]*n*z^(2n-2) n=1,2,3……

即幂级数的展开是：1-2z²+3z^4+……+[(-1)^(n+1)]*n*z^(2n-2) n=1,2,3……

收敛半径是：r=1

扩展资料：

收敛半径r为非负的实数或无穷大的数，在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。

在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。两个幂级数相除的结果仍是幂级数。逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

Answer 2

1、1/(1+z^2)=∑(-1)^n*z^(2n)，n从0到+∞。

收敛半径是1。

Answer 3

因为1/[(1+z²)²]=(-1/2z)[1/(1+z²)]'
1/(1+z²)=1+(-z²)+(-z²)²+(-z²)³+……+(-z²)^n…… 当z²<1时收敛，即-1<z<1
∴[1/(1+z²)]'=-2z+4z³-6z^5+……+[(-1)^n]*2n*z^(2n-1) n=1,2,3……
∴(-1/2z)[1/(1+z²)]'=1-2z²+3z^4+……+[(-1)^(n+1)]*n*z^(2n-2) n=1,2,3……

即幂级数的展开是：1-2z²+3z^4+……+[(-1)^(n+1)]*n*z^(2n-2) n=1,2,3……
收敛半径是：r=1

Answer 4

由于积分区域Ω：x² + y² + z² = R²关于坐标三轴都对称
且被积函数中的x,y,z都是奇函数
若f(x,y,-z)=-f(x,y,z)，则说f(x,y,z)关于z是奇函数
在对称区间上的奇函数的积分结果是0
所以用对称性可得∫∫∫ (x+y+z) dV = 0
剩下的∫∫∫ dV，是球体Ω的体积
= 4/3**π*1³
= 4π/3
所以原积分∫∫∫ (x+y+z+1) dV = 4π/3