Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足 PE

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足 PE = 1 3 PD ．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AC-D的余弦值．（3）在线段BC上是否存在点F，使得PF ∥ 平面EAC？若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

证明：（1） AB⊥BC PB⊥BC ?BC⊥ 平面PAB?BC⊥PA， 同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD； （2）在AD上取一点O，使 AO= 1 3 AD ，连接EO，则EO ∥ PA， 所以EO⊥平面ABCD． 过点O作OH⊥AC交AC于点H，连接EH，则EH⊥AC 所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角． 在△PAD中， EO= 2 3 AP= 4 3 ；在Rt△AHO中，∠HAO=45°， 所以 HO=AOsin45°= 2 3 tan∠EHO=2 2 cos∠EHO= 1 3 所以所求二面角E-AC-D的余弦值为 1 3 ； （3）当F为BC中点时，PF ∥ 平面EAC，理由如下：设AC，FD交于点S 因为AD ∥ FC所以 FS SD = FC AD = 1 2 又因为 PE ED = 1 2 所以PF ∥ ES 因为PF?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF ∥ 平面EAC．