Question

已知双曲线x 2 - y 2 2 =1 ，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B

已知双曲线x 2 - y 2 2 =1 ，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1 （1）当k存在时有 y=k(x-1)+1 x 2  - y 2 2 =1 得（2-k 2 ）x 2 +（2k 2 -2k）x-k 2 +2k-3=0    （1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 △=（2k 2 -2k） 2 -4（2-k 2 ）（-k 2 +2k-3）＞0，k＜ 3 2     又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标 ∴x 1 +x 2 = 2(k- k 2 ) 2- k 2     又M（1，1）为线段AB的中点 ∴ x 1 + x 2 2 =1   即 k- k 2 2- k 2 =1    k=2  ∴k=2，使2-k 2 ≠0但使△＜0 因此当k=2时，方程（1）无实数解 故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在． （2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件， 综上，符合条件的直线l不存在