Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE 交AB的延长线于点E，连结AD、B

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE 交AB的延长线于点E，连结AD、BD。（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由。 （3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C。 ∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E， ∴∠E=∠C。 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠E。 （2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线。 ∵当点D是弧BC的中点时，AD⊥BC，且AD过圆心O 又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED。 ∴ DE是⊙O的切线。 （3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AF⊥BC，且BF= BC=3。 又∵AB=5，∴AF=4。 设⊙O的半径为r， 在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3， 　　　　　　 ∴　r 2 =3 2 +（4-r） 2 解得：r= ，  ∴⊙O的半径是