Question

（理科）点P在抛物线y2=4x上，（1）若点P到焦点的距离为5，求点P的坐标；（2）若点P到直线y=x+3的距离最

（理科）点P在抛物线y2=4x上，（1）若点P到焦点的距离为5，求点P的坐标；（2）若点P到直线y=x+3的距离最短，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线方程为y²=4x，
∴焦点为F（1，0），准线为l：x=-1
设所求点坐标为P（x，y），作PQ⊥l于Q
根据抛物线定义可知P到准线的距离等于P、Q的距离
即x+1=5，解之得x=4，
代入抛物线方程求得y=±4
故点P坐标为：（4，±4）
（2）设直线y=x+t是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离，
代入化简得x²+（2t-4）x+t²=0
由△=0得t=1
代入方程得x=1，y=1+3=4
∴P为（1，4）．